Дюрация облигации: что показывает, как считается и как связана с ценой при росте ставки

Короткий ответ

Дюрация Маколея — средневзвешенный срок до получения платежей по облигации, в годах; весами служат приведённые стоимости платежей. Модифицированная дюрация равна дюрации Маколея, делённой на (1 + доходность), и показывает, на сколько процентов приблизительно изменится цена при изменении доходности на 1 п.п. В примере: облигация на 3 года с купоном 12% по номиналу имеет дюрацию Маколея 2,61 года и модифицированную 2,32. При росте доходности на 1 п.п. цена падает примерно на 2,32%; точный пересчёт даёт 2,28%.

Что такое дюрация и зачем она нужна

Срок до погашения говорит, когда вернётся номинал, но ничего не говорит о том, когда придут купоны. Две облигации на пять лет могут сильно различаться: у одной купон большой, и значительная часть денег приходит рано, у другой купона нет вовсе, и все деньги приходят в конце. Дюрация учитывает это и выражает «центр тяжести» денежного потока в годах.

Практическое значение у дюрации одно: она оценивает чувствительность цены к изменению ставок. Чем она выше, тем сильнее цена реагирует на рост или снижение доходности. Для бескупонной облигации дюрация Маколея равна сроку до погашения, для облигации с купонами она всегда меньше срока.

Как считается дюрация

Каждый будущий платёж приводят к сегодняшнему дню по доходности y, затем усредняют время платежей, взвесив его приведённой стоимостью:

PV = Платёж / (1 + y)^t
D = Σ t × PV / Σ PV
D_мод = D / (1 + y)

t — время до платежа в годах. Сумма всех PV равна полной цене бумаги. Дисконтирование здесь такое же, как в калькуляторе YTM: эффективная годовая ставка и равные периоды между выплатами. Об определении YTM — в статье про доходность ОФЗ.

Расчёт на условной облигации

Условия

Номинал 1000 ₽, купон 12% годовых, выплаты раз в полгода по 60 ₽, до погашения 3 года. Цена 100%, НКД равен нулю, поэтому доходность равна 12,36% годовых (шесть полугодовых купонов по 6%, см. первую статью).

t, лет	Платёж, ₽	PV, ₽	t × PV
0,5	60	56,60	28,30
1,0	60	53,40	53,40
1,5	60	50,38	75,57
2,0	60	47,53	95,05
2,5	60	44,84	112,09
3,0	1060	747,26	2241,77
Сумма		1000	2606,18

Сумма приведённых стоимостей равна цене 1000 ₽ (в таблице значения округлены до копеек, поэтому построчное сложение даёт расхождение в одну копейку).

Дюрация Маколея: 2606,18 / 1000 = 2,61 года. Это меньше срока в 3 года, потому что часть денег приходит раньше в виде купонов.
Модифицированная дюрация: 2,61 / 1,1236 = 2,32.

Связь дюрации с изменением цены

Приближённое правило: изменение цены в процентах ≈ −D_мод × изменение доходности в процентных пунктах. Сравним его с точным пересчётом цены всех платежей по новой доходности для той же облигации:

Изменение доходности	Новая цена, ₽	Точное изменение цены	По дюрации
+2 п.п.	955,15	−4,49%	−4,64%
+1 п.п.	977,19	−2,28%	−2,32%
−1 п.п.	1023,60	+2,36%	+2,32%

Правило хорошо работает для небольших сдвигов. С ростом сдвига приближение всё сильнее завышает падение цены и занижает рост: зависимость цены от доходности не прямая, а изогнутая (этот эффект называют выпуклостью).

В каталоге облигаций есть колонка «При +2%». Она показывает примерное изменение цены при росте ставок на 2 п.п. по тому же приближению: минус модифицированная дюрация, умноженная на 2. Для нашего примера это минус 4,6%.

От чего зависит дюрация

Для той же бумаги (купон 12%, выплаты раз в полгода, цена 100%) дюрация растёт с увеличением срока:

Срок, лет	Дюрация Маколея	Модифицированная дюрация
1	0,97	0,86
2	1,84	1,63
3	2,61	2,32
4	3,29	2,93
5	3,90	3,47

Срок. Чем длиннее бумага, тем выше дюрация, но рост замедляется.
Купон. Чем выше купон, тем больше денег приходит рано и тем ниже дюрация при том же сроке.
Доходность. При более высокой доходности далёкие платежи дисконтируются сильнее, и дюрация немного снижается.

Ограничения показателя

Приближение. Дюрация описывает небольшие и одинаковые для всех сроков сдвиги доходности. Крупные скачки дают заметную ошибку, как видно из таблицы выше.
Кредитный риск не учитывается. Дюрация говорит о влиянии ставок, а не о вероятности платежей. Об этом — статья про рейтинги.
Оферты и досрочные погашения меняют денежный поток, поэтому дюрацию считают до ближайшего события. Для амортизируемых бумаг дюрация ниже, чем у бумаг без амортизации: пример в отдельной статье.
Флоатеры. У бумаг с плавающим купоном цена мало реагирует на рыночные ставки, поскольку купон подстраивается; смотрят на срок до ближайшего пересчёта: про флоатеры.

Где смотреть дюрацию

В каталоге облигаций есть колонка «Дюрация» (дюрация Маколея до ближайшего события — оферты или погашения), а карта доходности строится в осях «доходность — дюрация» или «доходность — срок». В каталоге дюрация приближённая (платежи дисконтируются по ставке за период), поэтому для нашего примера она равна 2,60 года, а не 2,61: разница в сотых долях года. Как распределить бумаги с разной дюрацией, показано на примере лестницы облигаций.

Частые вопросы

Что такое дюрация облигации простыми словами?

Это средний срок, через который вы получаете деньги по облигации, в годах. Платежи, которые приходят позже, учитываются с меньшим весом, потому что их текущая стоимость ниже. Дюрация показывает, насколько цена облигации чувствительна к изменению ставок.

Чем дюрация Маколея отличается от модифицированной?

Дюрация Маколея измеряется в годах и показывает средневзвешенный срок платежей. Модифицированная равна дюрации Маколея, делённой на (1 + доходность), и напрямую связана с изменением цены: примерно столько процентов теряет или приобретает цена при изменении доходности на 1 п.п.

Почему дюрация меньше срока до погашения?

Потому что часть денег приходит раньше погашения в виде купонов. Чем больше доля купонов, тем сильнее дюрация отличается от срока. У бескупонной облигации они совпадают.

Как связана дюрация с ценой при росте ставки?

Цена падает примерно на модифицированную дюрацию в процентах на каждый процентный пункт роста доходности. В нашем примере при дюрации 2,32 рост доходности на 1 п.п. снижает цену примерно на 2,32% (точный расчёт — 2,28%).

У каких облигаций дюрация низкая?

У коротких, у бумаг с высоким купоном, у амортизируемых и у флоатеров. Чем ниже дюрация, тем слабее цена бумаги реагирует на изменение ставок.

Не считайте вручную

Добавьте облигации в бесплатный портфель: НКД, доходность и купонный календарь обновляются автоматически по данным MOEX.

Собрать портфель

Материал носит справочный характер и не является индивидуальной инвестиционной рекомендацией. Числа в примерах условные и не прогноз; расчёты не учитывают комиссии.